RESISTENZA EQUIVALENTE DI UNA CONNESSIONE INFINITA DI RESISTENZE SERIE PARALLELO

In queste poche righe vedremo come si può calcolare la resistenza equivalente della seguente rete costituita da infinite coppie di resistenze connesse in serie e in parallelo:

Indichiamo con $R_{EQ}$ la resistenza equivalente della rete di figura.

Se tagliamo idealmente la rete come indicato dalla linea tratteggiata nella figura sotto, è chiaro che la resistenza equivalente della rete a destra della linea è ancora la nostra $R_{EQ}$.

Abbiamo quindi:

$R_{EQ}=aR+bR||R_{EQ}$,

$R_{EQ}=aR+\frac{bR\cdot R_{EQ}}{bR+{R_{EQ}}}$,

$(bR+R_{EQ})R_{EQ}=aR(bR+R_{EQ})+bRR_{EQ}$ (*)

Con pochi passaggi algebrici e risolvendo l’equazione di secondo grado nella variabile $R_{EQ}$, si ha:

$R_{EQ}=\frac{aR}{2}(1+\sqrt{1+\frac{4b}{a}})$ (1)

Analizziamo brevemente alcuni casi particolari.

  1. $a=0$. In questo caso tutte le resistenze $aR$ sono cortocircuiti, quindi la resistenza equivalente attesa è nulla. Infatti, sostituendo $a=0$ nella (*) si ottiene $R_{EQ}=0$.
  2. $b=0$. In questo caso, tuttel el resistenze $bR$ sono dei cortocircuiti, quindi tutte le resistenze a destra della prima $aR$ saranno cortocircuitate. Pertanto, la resistenza equivalente complessiva è attesa essere $aR$. Infatti, sostituendo $b=0$ nella (1), si ottiene $R_{EQ}=aR$.
  3. Consideriamo infine il caso $a=b\neq0$. Sostituendo nella (1), si ha:

$R_{EQ}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}R \cong 1.618R$ (2)

In molti avranno riconosciuto il numero aureo ($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$) nella (2). Sembra che sia nascosto ovunque…

Vediamo un altro modo per ottenere lo stesso risultato della (2), che ci fornirà anche una ragione per cui il numero aureo appare nella (2).

Costruiamo la resistenza equivalente ad un passo per volta. Ricordiamo che stiamo calcolando la $R_{EQ}$ nel caso della rete con tutte le resistenze uguali tra loro ($R$)

Al primo step, calcoliamo la resistenza equivalente della rete costituite solo dalle prime due resistenze:

$R_{EQ,1}=2R=\frac{2}{1}R$

Al secondo step, aggiungiamo una coppia di resistenze (una in serie, l’altra in parallelo):

$R_{EQ,2}=R+R||2R=R+\frac{2R^{2}}{3R}=\frac{5}{3}R$

Al terzo step, aggiungiamo un’altra coppia di resistenze (una in serie, l’altra in parallelo):

$R_{EQ,3}=R+R||(R+R||2R)=R+R||\frac{5}{3}R=R+\frac{(\frac{5}{3}R^{2})}{\frac{8}{3}R}=R+\frac{5}{8}R=\frac{13}{8}R$

È evidente che stiamo ottenendo la seguente successione:

$\left \{R_{EQ,n}\right \}=\left \{ \frac{2}{1}R, \frac{5}{3}R, \frac{13}{8}R, \frac{34}{21}R, … \right \}$

Questa successione ci ricorda la successione di Fibonacci:

$f_{n}=\left \{ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… \right \}$

Infatti:

$\left \{R_{EQ,n}\right \}=\left \{ \frac{f_{2n+1}}{f_{2n}}R \right \}$ (3)

Ora, poiché la successione (3) è una estratta della $\left \{ \frac{f_{n+1}}{f_{n}}R \right \}$ (i.e. la successione dei rapporti dei termini consecutivi della successione di Fibonacci) che tende al numero aureo, si ha:

$R_{EQ}=\lim_{n}R_{EQ,n}=\lim_{n}\frac{f_{2n+1}}{f_{2n}}R=\lim_{n}\frac{f_{n+1}}{f_{n}}R=\frac{1+\sqrt{5}}{2}R$,

che coincide con la (2).

Cinematica e dinamica della caduta di un grave: un problema classico

Problema

Un uomo di 60 kg si tuffa in una piscina da un trampolino da 10 m.

Supponendo che​​ parta da fermo, cioè di​​ trascurare il suo​​ slancio,​​ calcolare​​ la sua velocità quando raggiunge l'acqua.

Trovare​​ la forza media che l'acqua esercita sull’uomo, se si ferma a 5 metri​​ di profondità.

Fig.1

Nella figura​​ è stato scelto un​​ sistema di riferimento​​ e l'origine​​ (O) è stata fissata a livello dell'acqua. Poiché il movimento avviene lungo una sola direzione (direzione verticale),​​ è necessario​​ solo un'asse​​ verticale,​​ il​​ tradizionale asse​​ "y", sul quale è stata​​ scelta​​ la freccia verso l'alto come orientamento positivo dell'asse: questo significa che tutte​​ le grandezze vettoriali​​ dirette​​ verso l'alto saranno​​ positive​​ mentre​​ quelle​​ dirette​​ verso il basso saranno negative.

Supponiamo,​​ visto​​ che non è​​ accennato​​ nel​​ testo​​ del problema, che​​ l’attrito​​ dell’aria sia trascurabile. Questa ipotesi, utilizzata in tutti i corsi di fisica di base, semplifica​​ molto​​ la soluzione del problema.

Il moto può essere diviso in 2 parti:

1. Moto nell'aria

2. Moto nell'acqua

Quindi, divideremo​​ anche​​ la soluzione del problema in 2 parti.

 

PARTE​​ 1: MOTO​​ NELLARIA

Per prima cosa, cerchiamo di stabilire​​ quali forze agiscono sull’uomo in caduta.​​ Poiché​​ trascuriamo​​ l’attrito​​ dell'aria,​​ l'unica forza che agisce sull'uomo è la gravità, cioè il peso dell'uomo (fig. 2).

Il peso è approssimativamente costante se​​ il moto avviene in prossimità della superficie terrestre, quindi la legge di Newton assicura che l'accelerazione sarà costante: g

W=mg=-mgy^

Di conseguenza​​ il moto sarà​​ uniformemente​​ accelerato,​​ con​​ accelerazione

g=-9.81ms2y^

Essendo il moto unidimensionale​​ (lungo​​ y) –​​ per semplicità​​ di​​ notazione​​ –​​ eviteremo l’utilizzo della notazione vettoriale​​ (y^)​​ a meno che non sia strettamente necessaria.

Fig.2

La legge oraria è:

y=y0+v0t-12gt2

In cui:

y0=h=10m,v0=0,g=9.81ms2

Quindi:

y=h-12gt2

Ponendo​​ y=0​​ (livello dell’acqua),​​ possiamo ricavare l’istante di tempo in cui l’uomo tocca l’acqua:

0=h-12gt2  

 

t= 2hg

(1)

In​​ un moto uniformemente accelerato,​​ la relazione velocità-accelerazione è:

v=v0+at

In cui​​ v0=0.​​ Pertanto,​​ dalla​​ (1):

v=at=gt= g2hg= 2hg2g=

=​​ 2gh=14ms

 

PARTE​​ 2: MOTO​​ IN​​ ACQUA

La forza media esercitata dall'acqua sull'uomo è - per definizione - una forza costante che ha lo stesso effetto della forza reale dell'acqua, che​​ fa​​ fermare​​ l'uomo a 5 m sotto l'acqua.

Quindi,​​ calcoleremo la forza​​ costante​​ che​​ riesce a​​ fermare​​ l'uomo alla profondità di​​ 5m.

Fig. 3

Di nuovo, cerchiamo di stabilire​​ quali sono le forze agenti sull’uomo in acqua. Egli​​ è sottoposto all’azione di​​ 2 forze (fig. 3):​​ il suo peso​​ W​​ e la forza costante dell'acqua​​ F, che può essere scritta (in notazione vettoriale) come segue

W=mg=-mgy^

F=Fy^

La legge della dinamica di Newton può essere scritta come segue:

W+F=ma

E, siccome sia il peso che la forza dell’acqua sono costanti,​​ anche l’uomo si muoverà con accelerazione costante.

Siamo quindi di fronte ad un​​ moto uniformemente decelerato,​​ con velocità iniziale:

v0=-14msy^

Di nuovo, il moto avviene in un’unica direzione​​ (y), perciò eviteremo la notazione vettoriale​​ (y^)​​ a meno che non si renderà necessaria.

Le equazioni spazio-tempo (legge oraria) e velocità-tempo sono:

s=s0+v0t+12at2v= v0+at

In cui​​ s0=0,​​ v0=-14ms​​ (diretta verso il basso),​​ l’accelerazione​​ a​​ è incognita ma diretta verso l’alto visto che l’uomo si arresta.

Occorre risolvere le equazioni precedent con​​ v=0​​ (l’uomo si ferma)​​ e​​ s=p=-5m.​​ Occorre quindi risolvere

-5=-14t+12at20=-14+at

Dalla seconda equazione si ottiene​​ at=14.​​ Sostituendo nella prima si ha:

-5=-14t+142t  

  t=0.71s

Risostituendo​​ t=0.71s nella seconda equazione si ottiene

a=19.61ms2,

diretta verso l’alto.

Tornando alla legge della dinamica di Newton, abbiamo:

W+F=ma

mg+F= ma

F= ma -mg

F= ma -mg=ma -g=

=60kg19.6ms2--9.81ms2y^=

=60kg×29.41ms2y^=1765Ny^