Perché non si può dedurre la proprietà Riflessiva dalla Simmetria e dalla Transitività?

La risposta sintetica è: i quantificatori sono importanti, molto importanti.

La domanda mi è stata posta da studenti che iniziavano a studiare le relazioni di equivalenza. Si domandavano: perché è necessaria la Riflessività? Non può essere dedotta dalla Simmetria e dalla Transitività?

Ricordiamo allora la definizione di relazione di equivalenza.

Dati due insiemi $A$ e $B$, si dice Relazione un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano $A\times B$. Una relazione può essere definita anche tra elementi di uno stesso insieme $A$: in questo caso, la relazione sarà un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A\times A$ ($A^{2}$).

Una relazione $R$ in $A\times A$ è una equivalenza se gode delle proprietà Riflessiva, Simmetrica e Transitiva.

Proprietà Riflessiva (M): $\forall x\in A, (x,x)\in R$

Proprietà Simmetrica (S): $(x,y)\in R \Rightarrow (y,x)\in R$

Proprietà transitiva (T): $(x,y)\in R \wedge (y,z)\in R\Rightarrow (x,z)\in R$

Ora l’argomentazione portata da chi si poneva la questione era: S $\Rightarrow (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R$, quindi, applicando la T, $(x,x)\in R$, che sembra proprio la proprietà riflessiva M.

Sembra… Il punto chiave sta nel fatto che né la S né la T garantiscono che tutti gli elementi di A siano legati ad almeno un elemento di A dalla relazione R: manca cioè il quantificatore universale “per ogni” ($\forall$). Quantificatore che è invece presente nella proprietà riflessiva M.

In altri termini, la proprietà riflessiva M – proprio grazie al quantificatore universale “per ogni” ($\forall$) – è l’unica delle tre che garantisce di non lasciare alcun elemento di A fuori dalla relazione R; cosa che non fanno la S e la T.

Vale la pena ricordare che una relazione di equivalenza su un insieme A determina naturalmente dei sottoinsiemi di A, detti classi di equivalenza, che costituiscono una partizione di A. Ebbene, per definizione stessa di partizione, nessun elemento di A può restare escluso.

Chiudo con un esempio. La relazione così definita:

$R:\left \{(m,n)\in \mathbb{Z}^{2} : mn>0\right \}$

è evidentemente simmetrica e transitiva; inoltre quasi tutti gli elementi di $\mathbb{Z}$ sono in relazione $R$ con se stessi. Peraltro la relazione non è riflessiva perché $0\in\mathbb{Z}$ non è in relazione $R$ con se stesso (né con nessun altro elemento di $\mathbb{Z}$).

Per qualunque commento, dubbio o domanda, usate pure la sezione commenti dell’articolo. Grazie. A presto.

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