È noto che dati due naturali $a$ e $b$ non nulli, il loro prodotto è uguale al prodotto del loro minimo comune multiplo per il loro massimo comun divisore:
$a \cdot b = mcm(a,b) \cdot MCD(n,m)$ (1)
Questa uguaglianza è molto utile ad esempio in informatica, visto che esistono semplici algoritmi per il calcolo del MCD: dati due numeri, quindi, se ne può calcolare il MCD e poi, tramite la (1), il mcm.
Esistono diverse dimostrazioni della (1), facilmente reperibili in rete (a questo link un paio di miei esempi) più o meno interessanti e più o meno semplici.
Meno nota è la seguente generalizzazione della (1). Siano a1,…,aN numeri naturali non nulli; si ha:
$\prod_{i=1}^{N}a_{i} = mcm(a_{1},…,a_{N})\cdot MCD(\frac{1}{a_{1}}\prod_{i=1}^{N}a^{i}, \cdot …, \cdot \frac{1}{a_{N}}\prod_{i=1}^{N}a^{i})$ (2)
che si riduce alla (1) quando si consideri $N=2$.
La dimostrazione della (2) è anch’essa relativamente semplice, a patto di calcolare il mcm e il MCD di N naturali in un modo leggermente diverso da quello usuale (ma ovviamente equivalente, nulla di nuovo sotto il sole).
Dati N naturali $a_{1},…,a_{N}$ non nulli, ciascuno di essi è scomponibile univocamente in fattori primi, alcuni dei quali potranno essere comuni a due o più degli N naturali, altri potranno essere presenti in una sola delle scomposizioni. Sia ora $F = f_{1},…,f_{K}$ l’insieme di tutti i fattori primi presenti in tutte le scomposizioni degli N naturali $a_{1},…,a_{N}$. L’insieme $F$ così definito conterrà tanto i fattori comuni a tutti gli $a_{i}$ quanto quelli non comuni. Ciascuno dei naturali può essere scomposto univocamente come segue:
$a_{i} = \prod_{j=1}^{K}f_{j}^{e_{ij}}, i = 1, …, N$ (3)
in cui alcuni degli esponenti possono essere nulli (corrispondenti a quei fattori usualmente chiamati “non comuni”). Ebbene, dalla (3), possiamo comodamente definire il mcm e il MCD di N naturali come segue:
$mcm(a_{1}, …, a_{N}) = \prod_{j=1}^{K}f_{j}^{\max_{i=1,…,N}(e_{ij})}$ (4)
$MCD(a_{1}, …, a_{N}) = \prod_{j=1}^{K}f_{j}^{min_{i=1,…,N}(e_{ij})}$ (5)
È opportuno osservare che, nel caso uno dei fattori $f_{j}$ non fosse comune a tutti i naturali $a_{i}$, il corrispondente minimo esponente sarebbe 0 (zero) e quindi quel fattore non comparirebbe nella fattorizzazione del MCD, come atteso (nel metodo classico infatti, per calcolare il MCD occorre considerare infatti solo i fattori comuni).
La dimostrazione della (1) mediante le (4) e (5) è banale. Concentriamoci sulla (2).
Calcoliamo quindi, usando la (5), il MCD a secondo membro della (2), cioè:
$MCD(\frac{1}{a_{1}}\prod_{i=1}^{N}a_{i}, …, \frac{1}{a_{N}}\prod_{i=1}^{N}a_{i})$ (6)
In altre parole vogliamo calcolare il MCD di N numeri pari al prodotto di N-1 degli $a_{i}$. L’m-simo numero può essere scritto come segue:
$\frac{1}{a_{m}}\prod_{i=1}^{N}a^{i} = \prod_{j=1}^{K}f_{j}^{\sum_{i=1}^{N}e_{ij}-e_{mj}}$ (7)
Siccome per calcolare il MCD occorre selezionare il minimo esponente, dalla (7) segue che nella fattorizzazione del MCD l’esponente del j-simo fattore $f_{j}$ sarà $\sum_{i=1}^{N}e_{ij}-\max_{i=1,…,N}(e_{ij})$. Pertanto:
$MCD(\frac{1}{a_{1}}\prod_{i=1}^{N}a_{i}, …, \frac{1}{a_{N}}\prod_{i=1}^{N}a_{i})=\prod_{j=1}^{K}f_{j}^{\sum_{i=1}^{N}e_{ij}-\max_{i=1,…,N}(e_{ij})}$ (8)
Applicando le proprietà delle potenze al primo membro della (2) e sostituendo le (4) e (8) al secondo membro della stessa equazione si ha:
$\prod_{j=1}^{K}f_{j}^{\sum_{i=1}^{N}e_{ij}}=\prod_{j=1}^{K}f_{j}^{\max_{i=1,…,N}(e_{ij})} \cdot \prod_{j=1}^{K}f_{j}^{\sum_{i=1}^{N}e_{ij}-\max_{i=1,…,N}(e_{ij})}$ (9)
che è evidentemente vera.
