Vediamo un altro modo per ottenere lo stesso risultato della (2), che ci fornirà anche una ragione per cui il numero aureo appare nella (2).
Costruiamo la resistenza equivalente ad un passo per volta. Ricordiamo che stiamo calcolando la $R_{EQ}$ nel caso della rete con tutte le resistenze uguali tra loro ($R$)
Al primo step, calcoliamo la resistenza equivalente della rete costituite solo dalle prime due resistenze:
$R_{EQ,1}=2R=\frac{2}{1}R$
Al secondo step, aggiungiamo una coppia di resistenze (una in serie, l’altra in parallelo):
$R_{EQ,2}=R+R||2R=R+\frac{2R^{2}}{3R}=\frac{5}{3}R$
Al terzo step, aggiungiamo un’altra coppia di resistenze (una in serie, l’altra in parallelo):
$R_{EQ,3}=R+R||(R+R||2R)=R+R||\frac{5}{3}R=R+\frac{(\frac{5}{3}R^{2})}{\frac{8}{3}R}=R+\frac{5}{8}R=\frac{13}{8}R$
È evidente che stiamo ottenendo la seguente successione:
$\left \{R_{EQ,n}\right \}=\left \{ \frac{2}{1}R, \frac{5}{3}R, \frac{13}{8}R, \frac{34}{21}R, … \right \}$
Questa successione ci ricorda la successione di Fibonacci:
$f_{n}=\left \{ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… \right \}$
Infatti:
$\left \{R_{EQ,n}\right \}=\left \{ \frac{f_{2n+1}}{f_{2n}}R \right \}$ (3)
Ora, poiché la successione (3) è una estratta della $\left \{ \frac{f_{n+1}}{f_{n}}R \right \}$ (i.e. la successione dei rapporti dei termini consecutivi della successione di Fibonacci) che tende al numero aureo, si ha:
$R_{EQ}=\lim_{n}R_{EQ,n}=\lim_{n}\frac{f_{2n+1}}{f_{2n}}R=\lim_{n}\frac{f_{n+1}}{f_{n}}R=\frac{1+\sqrt{5}}{2}R$,
che coincide con la (2).